ریاضی الگوهای القایی و ریاضی القایی

[ad_1]

بخش مهمی از یک ریاضیدان کار ادراک از الگوهای مربوط به اعداد است. گاهی اوقات یک ریاضیدان برخورد برخی از معادلات و درک حضور کلی نظم در آنها است. برای مثال نگاه ساده زیر هویت: 4^1-1=3*1, 4^2-1=3*5, 4^3-1=3*21, 4^4-1=3*85, و غیره. هر کسی می تواند تشخیص الگوی کلی: ضرب 4 با خود را به عنوان هر چند بار که دوست دارید و تفریق 1 از آن شما خواهد شد همیشه مضربی از 3. به طور مشابه,, 1+2+3=3*4/2, 1+2+3+4=4*5/2, و غیره. در اینجا دوباره, شما می توانید درک الگو: اضافه کردن تمام اعداد طبیعی از 1 تا هر تعداد که دوست دارید در نتیجه شما همیشه همان است به عنوان نیمی از محصول خود را توسط جانشین آن. ریاضیدانان کردم یک راه خاص از نوشتن چنین الگوهای عمومی. یکی از اولین به عنوان نوشته شده است “4*n-1 است که همیشه توسط 3 بخش پذیر” و دوم به عنوان 1+2+3+… +n=n(n+1)/2. به طور مشابه الگوی هویت 1+3+5=3^2, 1+3+5+7=4^2, 1+3+5+7+9=5^2, و غیره. به عنوان نوشته شده است 1+3+5+… +O_n=n^2, O_n در اینجا به معنای n ام عدد عجیب و غریب. ریاضیدانان درک الگوهای مربوط به اعداد و نوشتن آنها را در راه بالا توضیح داده شد. آنها کشف کرده اند طیف وسیعی از الگوهای جالب و یک نگاه صرف بیش از این تنوع است که به اندازه کافی برای پر کردن یکی با تعجب و ترس. اجازه دهید ما را نگاه در برخی از آنها.

مجموعه ای با 3 عناصر دارای 2^3=8 ممکن است زیر مجموعه های یک مجموعه با 4 عناصر 2^4=16 زیرمجموعه,… , مجموعه ای با n عنصر دارای 2^n زیر مجموعه. 2^3-2=6*1, 3^3-3=6*4, 4^3-4=6*10,… , n^3-n مضربی از 6. اجازه دهید ما را ترک میانی مراحل و ارسال نهایی عبارات از الگوهای از هم اکنون در. x^3-7x+3 چند است 3. 7^n-5^n مضربی از 2. a^n b^n مضربی از a-b, a و b متفاوت اعداد طبیعی. nC1+nC2+… +nCn=2n. لیست تقریبا بی پایان است.

یکی نباید بیش از حد شتابزده در طراحی این نتیجه رسید که الگوی او را درک واقع حمل به تمام اعداد طبیعی. اجازه دهید ما را به عنوان مثال کلاسیک از بیان n^2+n+41. آن را به طور گسترده ای اعتقاد بر این سال پیش که این عبارت همیشه به شما می دهد یک عدد مهم نیست که چه عدد طبیعی شما در آن قرار داده و در جای n. 1^2+1+41=43, یک عدد; 2^2+2+41=47, یک عدد; 3^3+3+41=53, دوباره یک عدد,… , 39^2+39+41=1601. یکی واقعا شروع به احساس می کنید که این الگو باید حمل به تمام اعداد طبیعی; تایید چیزی 39 بار افزایش یک اعتماد به نفس تقریبا به یقین است. اما اویلر یکی از پرکار ترین ریاضیدانان تاریخ اشاره کرد در سال 1772 که این درست نیست در کل. 40^2+40+41=40(40+1)+41=40*41+41=41(40+1)=41*41, کامپوزیت شماره به جای نخست! به طور مشابه,, 41^2+41+41=41(41+1+1), دوباره یک کامپوزیت شماره. آنچه ما در نتیجه گیری? ما را به درک که تکرار و تایید یک الگوی خاص لزوما حاکی از آن است که الگوی سوال را حمل به تمام اعداد است. یکی شروع به احساس نیاز به چیزی دیگری که باید به عنوان یک آزمون برای اعتبار اظهارات مربوط به تعداد الگوهای.

درک یک الگو و تعمیم آن به تمام شرایط ممکن است به نام القایی. مقدار زیادی از آنچه ما تماس بگیرید دانش بستگی به روند القایی. چگونه ما می دانیم به عنوان مثال اگر شما از دست دادن نگه دارید از چیزی را بر روی زمین به جای پرواز دور ؟ القای پاسخ فراهم می کند; پس زمان ما دنیا دیده ایم این اتفاق صدها بار این تکرار مشاهدات به ما داده است اعتماد به نفس است که آن را همیشه اتفاق می افتد در هر زمان که کسی را از دست بدهند نگه دارید از هر چیزی. آیا شما تردید? از دست دادن نگه دارید از چیزی و ببینید چه اتفاقی می افتد! آتش می سوزد و سم کشته شدن درختان به ما میوه خورشید می درخشد به ما نور و روزانه افزایش می یابد ، هستند تعداد کمی از چیزهایی که ما معتقدیم به دلیل القای. نه تنها در فیزیک و زندگی روزمره این است که قابل اجرا در مورد تعداد الگوهای همچنین. ما برخی از مشاهدات درک یک الگو و شروع به احساس می کنید که چیزی که ما مشاهده شده در مورد برخی از شماره های انتخاب شده باید درست باشد برای تمام اعداد است که وجود دارد. آن را یکی از قوی ترین ابزار کار یک ریاضیدان. اما… چیزی بیشتر وجود دارد قوی تر است که در دسترس نیست در صورت روزمره ما تجربه: ریاضیدانان کردم روش ریاضی القایی.

ریاضی القای یک ابزار است که استفاده می شود برای تکمیل عدم ذاتی است که در فرایند القای بنابراین به وضوح در معرض توسط مشاهدات ساخته شده توسط اویلر در سال 1772. مشاهدات خود را به وضوح نشان می دهد که ما نیاز به برخی از روش های دیگر برای تایید اینکه آیا الگوی ما درک حمل بیش از همه اعداد یا نه و این که آیا بیانیه پایانی شامل n ما نوشته اند درست است برای همه اعداد یا نه. این انجام شده است با استفاده از روش ریاضی القایی. آن را به عنوان یک آزمون از اعتبار یک بیانیه کلی در مورد اعداد طبیعی. اگر یک ادعا یا یک بیانیه عبور از این آزمون این است که قطعا درست است برای همه اعداد است که می تواند قرار داده می شود برای n در بیان نهایی. نگه داشتن در ذهن که همه از عبارات نگرانی تمام اعداد طبیعی. “4n-1 متعدد است 3” درست است برای همه اعداد طبیعی اما n! > n^2 درست است برای همه اعداد طبیعی هستند که بیشتر از 3 به جای واقعی برای تمام اعداد طبیعی. بنابراین در حالی که صحبت کردن در مورد الگوهای ما باید نگه داشتن چشم بیش از آن در طیف وسیعی از کاربرد. به خاطر سادگی ما خواهد بود و نگران در این مقاله تنها با کسانی که در الگوهای که شامل تمام اعداد طبیعی. در حال حاضر اجازه دهید ما نگاهی به مراحل روش.

روش ریاضی القای تنها شامل دو مرحله است. اولین قدم این است که ببینیم آیا این جمله درست است برای اولین طبیعی شماره 1 یا نه. دوم این است که کمی پیچیده; ما موارد زیر را چک کنید: اگر این ادعا درست است برای یک شماره خاص است که آن را درست به صورت یک بعدی هست ؟ که از نظر ما جانشینان آن اعداد که الگوی واقعی و بررسی کنید که آیا این ادعا درست است برای همه جانشینان یا نه. هنگامی که یک ریاضیدان تایید این دو چیز او می نویسد یافته های خود را به عنوان یک اثبات شامل دو مرحله است: اول به او ثابت می کند که این ادعا درست است 1 و در مرحله دوم او می رود تا ثابت کند که اگر این ادعا درست است برای هر تعداد از آن باید درست باشد جانشین آن بیش از حد. از این دو اثبات ریاضی جامعه شروع به شرایط عمومی صحت این ادعا ساخته شده است. سوالی که در اینجا مطرح می شود این است که “چرا”. چگونه ما می دانیم که یک بیانیه که عبور از این دو مرحله باید درست باشد به طور کلی ؟ وجود دارد تعدادی از راه های از “دیدن” این است.

تصور کنید یک ردیف از کاشی ایستاده خیلی نزدیک به یکدیگر است که اگر کسی از آنها می افتد آن همسایه نیز سقوط خواهد کرد. در حال حاضر اگر کسی اجازه می دهد تا یکی از اولین سقوط ما به وضوح می توانید ببینید که تمام کاشی سقوط خواهد کرد. مشابه در مورد اعداد. اگر یک بیانیه درست است برای 1 و درست است جانشین هر تعداد که درست است باید آن را درست برای همه اعداد. راه دیگری وجود دارد بیش از حد: ما می دانیم که این بیانیه درست است برای 1 پس از گام دوم ما می دانیم که باید آن را درست برای جانشین آن است که 2 – بعد از همه ما ثابت کرده اند که در مرحله دو که این ادعا درست است برای جانشینان همه این اعداد که درست است از این رو باید آن را درست برای جانشین 1 به عنوان خوبی است که 2. حالا که درست است به صورت 2 از گام دوم باید آن را درست برای 3 و 4 و 5 و… و 1000 و 1000 000,… … و… خوب برای همه اعداد طبیعی.

وجود یک میدان راه نگاه کردن به آن بیش از حد و شخصا صحبت من پیدا کردن آن جالب تر است. آن بستگی به یک واقعیت ساده در مورد اعداد طبیعی: اگر شما را انتخاب کنید برخی از اعداد طبیعی, مهم نیست که چگونه بسیاری از آنها باید وجود داشته باشد کوچکترین یکی در میان آنها است. برای مثال اگر من را انتخاب کنید پذیرش تعداد دانش آموزان کلاس من هر کس می توانید ببینید که وجود دارد باید یک دانشجو با کوچکترین پذیرش تعداد. بسیار ساده است. این است که به نام خوب سفارش ملک اعداد طبیعی است. آیا این واقعیت ساده سزاوار یک عنوان جداگانه? بله و شما نگاه کنید به “چرا” در مدتی کوتاه.

خوب سفارش ملک از اعداد طبیعی نشان میدهد که روش ریاضی القایی است که در واقع یک تست بسیار معتبر از حقیقت کلی اظهارات مربوط به اعداد است. فرض کنید در شرایطی که وجود دارد این است که بیانیه ای که گذشت این آزمون و هنوز هم غلط است برای برخی از اعداد طبیعی است. اگر هر یک از این اعداد وجود داشته باشد باید وجود داشته باشد کوچکترین چنین شماره. تماس با آن ها. نمی توان آن را 1 به موجب این مرحله یک. پس از آن باید یک سلف; تماس با آن p. پس از s است که کوچکترین آن که عبارت نادرست است باید آن را درست برای p و پس از گام دوم باید آن را درست برای خود جانشین s را به خوبی! این غیر ممکن است; بنابراین وجود این اعداد که این ادعا نادرست است غیر ممکن است — وجود خواهد حاکی از وجود کوچکترین یکی در میان آنها وجود دارد که غیر ممکن است پس برای آن که ادعا می کنند باید هر دو درست و نادرست در همان زمان. بسیار هوشمندانه استدلال واقع است.

ایده این روش این است که واقعا مبتکرانه یکی و یکی نمی تواند کمک کند توصیف استعداد فرد که در آن معرفی شده است. من می خواهم به نتیجه گیری در این مقاله با فهرست برخی از جالب و کاربردی از این روش. جزئیات این برنامه را می توان در روزن کتاب ریاضیات گسسته و کاربردهای آن. می توان آن را به پستی مشکلات. برای مثال ما می توانیم ثابت کنیم با استفاده از این روش این است که هر مقدار از هزینه پستی از 12 سنت یا بیشتر تشکیل می شود فقط با استفاده از 4 درصد و 5 درصد تمبر. ما می تواند ثابت کند که هر پستی از.8 سنت یا بیشتر تشکیل می شود فقط با استفاده از 3 درصد و 5 درصد تمبر. می توان آن را به بازی. برای مثال ما می توانیم ثابت کنیم که در برخی از بازی دو بازیکن دوم بازیکن می تواند تضمین پیروزی است. می توان آن را به اثبات برخی حقایق در مورد رابین دور مسابقات. آن است که به طور گسترده مورد استفاده در نظریه اعداد و بسیاری از دیگر شاخه های ریاضیات است. می تواند ثابت کند که خاص طبقه می تواند کاشی با استفاده از برخی از کاشی های… انواع برنامه های کاربردی بی پایان است.

[ad_2]